本帖最后由 史锦顺 于 2015-7-8 21:53 编辑


       1#大海先生所提出的误差合成问题,表面上看是对知识了解的问题,本质上却涉及“合成方法是否合理”这个重大的理论问题。
       数理统计理论,对象是随机变量,取“方和根”是合理的。例如,频率稳定度,表征与处理的是频率的随机变化,因此,凡合成频率稳定度的场合,都可取“方和根”。在一般的测量中,测量仪器既有随机误差也有系统误差,一律取“方和根”,是没有道理的。误差理论,处理合成问题,比较谨慎,只有随机误差,才取“方和根”。既有随机误差又有系统误差的场合,取“绝对和”,这是保险的。1980版的《数学手册》,所载的误差合成公式,就是“绝对合成”。先生所说的先开方再相加,本质就是“绝对合成”。你的主张是正确的。我支持你。你可进一步充实自己;让我们共同抨击不确定度论。
       我认为:“绝对合成”简单,不需要假设条件;合理、保险;符合误差量的上限性特点,就是讲究绝对值的最大值。
       现行不确定度评定,一律取“方和根”,是必须假设“独立”“随机”“大量”等条件的。而绝大多数的应用场合,并不满足这些条件。请注意:不确定度论的这一假设条件不符合实际;因而这个作法是错误的。
       下面是我的《史氏测量计量学》的第5章(本栏目发表过。已略作修改),供参考。
———————
第5章 误差范围与误差合成          

(一)误差量的特点     
    误差,表明测得值与实际值(被测量的真值)的差距。误差是个泛指的概念,包括误差元与误差范围两个概念。
    误差元等于测得值减真值。误差元是误差概念的基本单元,表明误差的物理意义与计算方法,是误差理论的基础。但对一项测量计量的表达对象,误差元是可正可负、有大有小的量,不便直接表达与应用。
    误差量的特点是它的上限性。取误差元的绝对值,就去掉了误差元的正负号;取误差元的绝对值的一定概率(99%)意义下的最大可能值,就把误差元的多个可能值,变成了一个值,这个值就是误差范围。
    误差范围体现了误差量的特点,简单、够用;它被应用于研制、计量、测量三大场合。研制是用计量标准与物理机制建立仪器的误差范围;计量靠计量标准检验、公证仪器的误差范围;测量是利用误差范围。人们用经过计量合格的测量仪器进行测量,在得到测得值的同时,知道了该测得值的误差范围不超过测量仪器误差范围的指标值,只要测量仪器的误差范围指标满足要求,人们就得到了够格的测量结果,达到了测量的目的。

    将误差元变成误差范围,称为误差合成。误差合成的任务就是两条:去掉诸误差元的正负号;找到诸误差元共同作用产生的总误差元的绝对值的最大可能值。
    一般量的特点是“双限性”,就是不能过大,也不能过小。而误差量不同,对误差量的要求是不能过大,而越小越好,这是误差量的“上限性”。因为误差元有正有负,所谓误差大、误差小,是只论绝对值,而不管正负号。
    考虑、选取误差合成的方案,特别要注意误差量的上限性。本书基于误差量“上限性”的特点,提出“取绝对和好”的判断。

(二)误差范围与两个区间         
    通常的函数关系,是函数与自变量一一对应。测量计量理论的函数关系,却是一个自变量对应函数的一个区间。误差范围是函数区间的半宽。
    误差元等于测得值减真值;误差范围是误差元的绝对值的一定概率意义下的最大可能值。有这两个定义,第4章推导了两个区间的公式。
    研制、计量中用的测得值区间为:
          Z-R ≤ M ≤ Z+R                                        (4.9)
    Z是被测量的量值(真值),M是测得值,R是误差范围。
    测量中用的被测量量值区间为:
          M-R ≤ Z ≤ M+R                                       (4.15)
    以上两个区间公式,即测得值公式与真值公式,是把误差范围的定义的最大值符号max去掉推导的结果,表明区间中全部量值点的关系,物理意义明确,表达完备。另有一种最常用的表达方式,那就是着眼点于区间边界点,而得出的公式,有最简洁的形式,而实际内容,与上二式等效。推导时不去掉最大值符号max,着眼点于区间边界,即只用等号。

    A 测得值区间公式        
    基本公式
          │M – Z│max = R
    只着眼最大点,有
          │M – Z│ = R                                             (5.1)
    解绝对值方程(5.1)       
    当M>Z时,有
          M(大)=Z+R                                               (5.2)
    当M<Z时,有
          M(小)=Z-R                                                (5.3)
    综合(5.2)式、(5.3)式,有
          M = Z±R                                                 (5.4)
    M(大)等于区间上边界点,M(小)等于区间下边界点。M的整个区间为:
          Z-R ≤ M ≤ Z+R                                         (4.9)

    B 真值区间公式         
    基本公式
          │M – Z│max = R  
    只着眼最大点,有
          │M – Z│ = R                                              (5.1)
    解绝对值方程(5.1)
    当M>Z时,有
          Z(小) = M-R                                                (5.5)
    当M<Z时,有
          Z(大) = M+R                                                (5.6)
    综合(5.5)式、(5.6)式,有
          Z = M±R                                                   (5.7)
    Z(大)等于区间上边界点,Z(小)等于区间下边界点。Z的整个区间为:
          M-R ≤ Z ≤ M+R                                          (4.15)

(三) 误差范围的人、绳、狗模型      
    真值、测得值、误差元与误差范围的关系,可以比喻为人、绳、狗的关系。
    真值比做人,测得值比做狗,误差就是人与狗的距离。人狗的位置差,时刻在变化,但距离的最大值被绳长所限制。绳长比做误差范围,是个单一值;人与狗的距离比做误差元,从零可变到绳的长度。
    固定人的位置,狗活动在以人为圆心、以绳长为半径的圈内。这像研制与计量中的测得值区间。测得值区间以真值为中心、以误差范围为半宽。
    某时观测到狗的位置,则人必在以狗为圆心,以绳长为半径的圈内。这像测量中的真值区间。被测量的量值区间(真值区间)以测得值为中心、以误差范围为半宽。
    绳长限制了人与狗的距离。知道人的位置,可以找到狗;同样,知道狗的位置,也可以找到人。
    同一误差范围,贯穿于测得值区间与被测量量值区间这两个区间中,是测得值与真值之间变换换的基础。研制中,确立真值到测得值的变换;测量中,利用测得值到真值的变换。误差范围决定两个变换的质量,也就是决定测量的水平。

    测量仪器的误差范围,在生产时被造就,而在计量时,被公证。能确认误差范围之值,是因为计量中有标准。而标准之标称值,可视为真值。定标时、计量时的测得值区间,是测量仪器的特性,它确定了测得值对真值的关系。测量仪器的这个特性,在测量中将表现出来,即表达测得值与真值的关系,因此可由测量中得到的测得值来确定被测量的真值。
    研制与计量中,依靠真值确认误差范围;测量中由已知的误差范围与测得值而得知被测量的量值。测量结果是测得值加减误差范围,被测量的真值包含在测量结果中。

(四)误差范围的重要性         
    1 误差范围是测量仪器的测得值函数的简化表达;
    2 误差范围是测量仪器性能的表征;误差范围指标值是测量仪器水平的标志
    3 计量是对测量仪器误差范围的检验与公证。计量的作业是求得被检仪器的实际误差范围值;仪器计量合格,就是指仪器的误差范围的实际值不大于仪器的误差范围指标值。
    4 误差范围是测量中真值函数的简化表达。
    5 测得值与误差范围共同构成测量结果。标志测量水平的是误差范围。在满足仪器使用条件、正确操作的条件下,测量者用测量仪器的误差范围指标值,当作测得值的误差范围,是合理的、冗余的代换。因此,人们选用误差范围指标够格的测量仪器进行测量,在得到测得值的同时,也知道了测得值的误差范围。被测量的真值包含在测量结果中。于是人们就达到了测量的目的。

    测量仪器的误差范围指标(准确度),是仪器生产的目标,是计量合格性判别的标准,是使用者选用仪器与表示测量结果的依据。测量仪器的研制、生产、使用,用一个误差范围指标(准确度)贯穿起来,是人类社会的组织效果,是人类文明的一种体现。

(五)误差合成方法的比较        
     误差合成,主要用于三种场合。研制测量仪器时,依据仪器的测量方程,把构成总误差的各个测量因素,合成为总误差范围。直接测量时,依据直接测量的测量方程,把随机误差、各项系统误差合成为总误差范围。间接测量时,依据间接测量的函数关系公式,把各个直接测量的误差范围,合称为总误差范围。
    误差合成有三种方法。
    (1)混合法   
    历史上,标准的研制、测量仪器的研制,误差合成大都用混合法。就是对随机误差与项目较多的小的系统误差,用方和根法;而对少数几项大的系统性误差,用绝对和法。这是一种直观的判断,没有这方面的严格分析。历史证明,混合法基本可用。
    (2)方和根法   
    取各项平方和的根。
    各量和的平方,等于各量平方的和再加上交叉乘积项之和。交叉乘积项之和可以忽略的条件是各量独立而不相关。随机误差一般可认为是不相关的。由于测量仪器不仅有随机误差,还有系统误差,而且系统误差通常占主导地位,如何判别相关性,就是个难题。
    主张采用方和根法,是当代的主流;但实际是一种行不通的空想。
    他们讲道理时说,当分项间不独立时,要计及相关系数,要计算协方差。而计算相关系数、计算协方差,极其麻烦。怎办?通常都是设“独立”、“不相关”;这是掩耳盗铃的作法。不确定度理论推广以来,对通常的相关或部分相关的情况,都按“不相关”处理,这是错误的。
    所谓用“相关系数公式判别相关性”实际是行不通的。相关系数公式仅仅对随机误差才成立,包含有系统误差的场合,相关系数公式不成立。现有的相关系数公式对系统误差的灵敏度为零。一般仪器是以系统误差为主的,而相关系数又与系统误差无关,这样,所谓相关性判别,实际是没法计算的。大量规范、文件、书籍所说的“假定不相关”,都是不符合实际的。是掩耳盗铃。方和根法所要求的条件不成立,方法本身就没有理论基础。

    (3)绝对和法      
    各项分项误差,绝对值相加。
    绝对和法的优点:
    1 符合误差量上限性的特点,不要求条件、保险。
    2 符合最基本的数学原理(数学手册方法)。
    3 实际性能到性能指标有余量,信誉高。
    4 好算,设计者欢迎。
    5 有余量,合格性的临界状态少,计量易判别。
    6 可靠,测量者欢迎。
    7 鉴定会容易通过。
    8 促进提高仪器性能。

(六)绝对和法的一般表达        
    绝对和法就是各项取绝对值后相加。
    绝对和法就是各分项误差范围(都是正值)相加。
    设测得值函数为
          M = f(X1,X2,X3)
    泰勒展开的一阶项是
          ΔM = (∂f/∂X1) ΔX1+(∂f/∂X2) ΔX2+(∂f/∂X3) ΔX3
    误差范围为:
          R =│ΔM│max
            =│(∂f/∂X1) ΔX1+(∂f/∂X2) ΔX2+(∂f/∂X3) ΔX3│max
            =│∂f/∂X1││ΔX1│max + │∂f/∂X1││ΔX1│max + │∂f/∂X1││ΔX1│max
            =│∂f/∂X1│R1 + │∂f/∂X2│R2 + │∂f/∂X3│R3
            = R(1) + R(2) + R(3)

(七)绝对值合成法的常用公式           
    以下公式,参照《数学手册》(科学出版社,1980版)编写。这是六项最基本的误差范围合成公式。可惜,这些最基本的知识,一些人,包括某些专家,竟不知道。他们怎样计算呢?一律取方和根。不仅不确定度论如此;一些误差理论书也如此。前面讲过,取方和根法的条件“不相关”,在有系统误差的条件下,相关系数公式不成立。因此,方和根法没有理论基础。
    不确定度论指谪误差理论没有统一的误差合成方法,从而主张一律取方和根。这是一条走不通的难路、死路。

    鉴于误差量的“上限性”的特点,笔者认为经典测量理论的“绝对值合成法”,是简单的、现实可行的、保险的;也是合理的、正确的。
    本章以数学的形式,推导绝对合成的公式,说明经典方法的严格性、合理性。须知:误差合成是仪器设计者、测量方案设计者自己的事,这样做,自己方便、有利别人,是严于律己的做法,易懂易学、处理方便又保险,何乐而不为之?也许有人说,这样做,于己可以;要求别人,就不合理了。
    计量时,是要求别人。但是,计量靠的是标准,靠的是实测,计量对被捡对象的合格性判别,与误差合成方法无关。
    如果某些特定场合,需要进行误差合成,最可信的方法是绝对值合成。
    本书推荐最基本的六大公式。好记,好用。
1 和的误差公式      
    定理一:二量和的误差范围,等于二量的误差范围之和。
    证明
    1.1物理公式
          C=A+B  
    1.2计值公式
    对物理公式加标号,m表测得值(下同)
          Cm=Am+Bm
    1.3测量方程
    联立物理公式与计值公式
          Cm-C =Am-A+Bm-B
    1.4 误差范围关系
    用r表误差元,R表误差范围(下同)
    由测量方程
          r(C)=r(A)+r(B)
          │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                   =│r(A)│max+│r(B)│max
    误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
          R(C)=R(A)+R(B)  
    定理一得证。

2 差的误差公式         
    定理二:二量差的误差范围,等于二量的误差范围之和(不是差)。
    证明
    2.1物理公式
          A=C-B
    2.2计值公式
          Am = Cm-Bm.
    2.3测量方程
    联立物理公式与计值公式
          Am-A = Cm-C – (Bm-B)
    2.4 误差范围关系
    由测量方程
          r(A)=r(C)-r(B)
          │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                    =│r(C)│max+│r(B)│max
    误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
          R(A)=R(C)+R(B)  
    定理二得证。

3 积的误差公式         
    定理三:二量积的相对误差范围,等于二量的相对误差范围之和。
    证明
    3.1物理公式
          C = A B
    3.2计值公式
          Cm = Am Bm
    3.3测量方程
    联立物理公式与计值公式,解得
          Cm/ C = A m Bm/(A B)
    3.4 误差范围关系
    由测量方程
         (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
         1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
         δr(C) =δr(A) +δr(B)
         │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
    误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
          δR(C)=δR(A)+δR(B)  
    定理三得证。

4 商的误差公式        
    定理四:二量相除,商的相对误差范围,等于二量的相对误差范围之和。
    证明
    4.1 物理公式
          A = C / B
    4.2 计值公式
          Am = Cm / Bm
    4.3 测量方程
    联立物理公式与计值公式,解得
          Am/ A = [Cm /Bm] B/C  
    4.4 误差范围关系
    由测量方程
         (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
         1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
         δr(A) =δr(C) -δr(B)
         │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
    误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
         δR(A)=δR(C)+δR(B)   
    定理四得证。

5 幂的误差公式          
    定理五:A等于B的n次方,则A的误差范围等于B的误差范围的n倍。
    证明
    5.1物理公式
          A =B^n  
    5.2计值公式
          Am = Bm^n  
    5.3测量方程
    联立物理公式与计值公式,解得
          Am /A= Bm^n/B^n
    5.4 误差范围关系
    由测量方程
         (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
         1+δr(A) = 1+nδr(B)
         δr(A) = nδr(B)
         │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
    误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
         δR(A)= nδR(B)  
    定理五得证。

6 根的误差公式         
    定理六:A等于B的n次方根,则A的误差范围等于B的误差范围的1/n倍。
    证明
    6.1 物理公式
          A =B^(1/n)
    6.2 计值公式
    对物理量加标号,m表测得值
          Am = Bm^(1/n)
    6.3 测量方程
    联立物理公式与计值公式,解得
          Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
    6.4 误差范围关系
    r表误差元,R表误差范围。
         (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
         1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
         δr(A) = (1/n)δr(B)
        │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
    故有:
         δR(A)=(1/n)δR(B)
    定理六得证。


 

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