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本帖最后由 史锦顺 于 2017-11-7 10:56 编辑
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测量计量三项公式的适用对象
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史锦顺
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标准正态分布公式、标准偏差公式、皮尔逊相关系数公式是测量计量领域的三项重要公式。这三项公式的适用对象是随机变量与随机误差。对系统误差，这三个公式都是不适用的。
测量仪器的误差，通常以系统误差为主。这是基本的事实。在系统误差上套用仅仅适用于随机误差的三项公式，是歧途。当今，风行于世的不确定度体系，混淆三项公式的适用对象，这里澄清之。
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1 正态分布的适用对象
高斯给出的误差概率密度函数为：
p(M) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (M-μ)2 / (2σ2)] （1）
这就是著名的正态分布，或称为正态分布。
公式（3）以测得值M为自变量，测得值M与真值Z、系统误差β相关联，于是易于产生一种认识，就是（3）式不是随机误差的规律，而是误差量的特性的表达。这种观点有一定的道理，就是正态分布曲线的偏倚，正是系统误差的作用。其实，就所谓“分布”来说，仅仅是随机误差的特性，并没有系统误差的作用。
公式（3）的变量是什么？表面是测得值M，本质却是随机误差ξ。
随机误差元记为ξ，真值记为Z，系统误差记为β
M = Z + β +ξ
ξ = M – Z – β = M- μ （2）
（2）代入（1），
p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [–ξ2 / (2σ2)] （3）
由（3）式可知，正态分布规律的实质，是随机误差的分布规律。
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2 贝塞尔公式的适用对象
方差定义为：
DX=lim(N→∞)(1/N)∑(Xi-EX)2 （4）
标准偏差为：
σ =√[(1/N)∑(Xi-EX)2] （5）
贝塞尔公式为：
σ = √[1/(N-1)∑(Xi-X平)2] （6）
方差定义式中有两个极限符号，去掉外极限符号，是标准偏差；再去掉内极限符号（E相当于平均值的极限），即用平均值X平代替期望值EX，得到便于应用的贝塞尔公式（6）。
贝塞尔公式是测量计量学的最基本的公式。应用广、影响大、威望高。但请注意，贝塞尔公式的应用，在时域统计中，仅限于随机误差。对系统误差，贝塞尔公式无效，不能用。为什么？
仔细分析公式（6），可知，贝塞尔公式的核心元素是差值（Xi-X平），
Xi = Z+β+ξi
X平= (1/N)∑(Z+β+ξi)
= (1/N) (NZ+Nβ+∑ξi)
= Z+β+(1/N)∑ξi
有
Xi – X平= (Z+β+ξi) – [Z+β+(1/N)∑ξi]
= ξi – ξ平 （7）
将（7）式代入（6）式，有：
σ = √[1/(N-1)∑(ξi – ξ平)2] （8）
公式（8）与公式（6）等效。公式（8）说明，贝塞尔公式是随机误差的公式，它不包含系统误差β的因素，对系统误差无效。贝塞尔公式不能应用于系统误差。
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实验中，测得值Xi的位数可能很多。计算σ时，可以略去数据中的相同的大数，而只计算数据列的尾数。就是说，各数据减去同一个大常数，只用差值计算σ。
Xi = D+xi
X平= (1/N)∑(D+xi)
= (1/N) (ND+∑xi)
= D+(1/N)∑xi
有
Xi – X平= (D+xi) – [D+(1/N)∑xi]
= xi – x平 （9）
将（9）式代入（3）式，有：
σ = √[1/(N-1)∑(xi – x平)2] （10）
公式（10）与公式（6）等效。实用中，（10）式很方便。
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计量测量的统计是时域统计。在时域统计中，系统误差为恒值。以上推导说明：贝塞尔公式与系统误差无关。
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3 相关系数公式的适用对象
相关系数公式为
r = [1/(N-1)][∑(Xi-X平)(Yi-Y平)] / (σXσY) （11）
作如下变换
Xi = ZX+βX+ξXi
X平= (1/N)∑(ZX+βX+ξXi)
= (1/N) (NZX+NβX+∑ξXi)
= ZX+βX+(1/N)∑ξXi
有
Xi – X平= (ZX+βX+ξXi) – [ZX+βX+(1/N)∑ξXi]
= ξXi – ξX平 （12）
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又
Yi = ZY+βY+ξYi
Y平= (1/N)∑(ZY+βY+ξYi)
= (1/N) (NZY+NβY+∑ξYi)
= ZY+βY+(1/N)∑ξYi
有
Yi – Y平= (ZY+βY+ξYi) – [ZY+βY+(1/N)∑ξYi]
= ξYi – ξY平 （13）
将（12）式（13）式代入（11）式，得：
r = [1/(N-1)][∑(ξXi – ξX平)(ξYi – ξY平)] / (σXσY) （14）
公式（14）与公式（12）等效。
由公式（14）可知，皮尔逊相关系数系数公式，仅仅适用于随机误差ξ，而与系统误差β无关。皮尔逊公式对系统误差的灵敏度为零，因而皮尔逊公式不能用于系统误差。
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