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本帖最后由 史锦顺 于 2017-11-7 10:56 编辑



                               测量计量三项公式的适用对象



                                                                                            史锦顺



       标准正态分布公式、标准偏差公式、皮尔逊相关系数公式是测量计量领域的三项重要公式。这三项公式的适用对象是随机变量与随机误差。对系统误差,这三个公式都是不适用的。

       测量仪器的误差,通常以系统误差为主。这是基本的事实。在系统误差上套用仅仅适用于随机误差的三项公式,是歧途。当今,风行于世的不确定度体系,混淆三项公式的适用对象,这里澄清之。   

–  


1 正态分布的适用对象
       高斯给出的误差概率密度函数为:

                    p(M) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (M-μ)2 / (2σ2)]                           (1)

       这就是著名的正态分布,或称为正态分布。

       公式(3)以测得值M为自变量,测得值M与真值Z、系统误差β相关联,于是易于产生一种认识,就是(3)式不是随机误差的规律,而是误差量的特性的表达。这种观点有一定的道理,就是正态分布曲线的偏倚,正是系统误差的作用。其实,就所谓“分布”来说,仅仅是随机误差的特性,并没有系统误差的作用。

       公式(3)的变量是什么?表面是测得值M,本质却是随机误差ξ。

       随机误差元记为ξ,真值记为Z,系统误差记为β               

                  M = Z + β +ξ

                  ξ = M – Z – β = M- μ                                                               (2)

      (2)代入(1),

                  p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [–ξ2 / (2σ2)]                                    (3)            

       由(3)式可知,正态分布规律的实质,是随机误差的分布规律。




2 贝塞尔公式的适用对象
       方差定义为:

                  DX=lim(N→∞)(1/N)∑(Xi-EX)2                                              (4)

       标准偏差为:

                  σ =√[(1/N)∑(Xi-EX)2]                                                          (5)

       贝塞尔公式为:

                  σ = √[1/(N-1)∑(Xi-X平)2]                                                     (6)

       方差定义式中有两个极限符号,去掉外极限符号,是标准偏差;再去掉内极限符号(E相当于平均值的极限),即用平均值X平代替期望值EX,得到便于应用的贝塞尔公式(6)。

       贝塞尔公式是测量计量学的最基本的公式。应用广、影响大、威望高。但请注意,贝塞尔公式的应用,在时域统计中,仅限于随机误差。对系统误差,贝塞尔公式无效,不能用。为什么?

       仔细分析公式(6),可知,贝塞尔公式的核心元素是差值(Xi-X平),

                 Xi = Z+β+ξi

                 X平= (1/N)∑(Z+β+ξi)

                    = (1/N) (NZ+Nβ+∑ξi)

                    = Z+β+(1/N)∑ξi

       有

                  Xi – X平= (Z+β+ξi) – [Z+β+(1/N)∑ξi]

                           = ξi – ξ平                                                                      (7)

       将(7)式代入(6)式,有:

                  σ = √[1/(N-1)∑(ξi – ξ平)2]                                                    (8)

       公式(8)与公式(6)等效。公式(8)说明,贝塞尔公式是随机误差的公式,它不包含系统误差β的因素,对系统误差无效。贝塞尔公式不能应用于系统误差。



       实验中,测得值Xi的位数可能很多。计算σ时,可以略去数据中的相同的大数,而只计算数据列的尾数。就是说,各数据减去同一个大常数,只用差值计算σ。

                 Xi = D+xi

                 X平= (1/N)∑(D+xi)

                     = (1/N) (ND+∑xi)

                     = D+(1/N)∑xi

       有

                  Xi – X平= (D+xi) – [D+(1/N)∑xi]

                           = xi – x平                                                                   (9)

       将(9)式代入(3)式,有:

                  σ = √[1/(N-1)∑(xi – x平)2]                                                 (10)

       公式(10)与公式(6)等效。实用中,(10)式很方便。



       计量测量的统计是时域统计。在时域统计中,系统误差为恒值。以上推导说明:贝塞尔公式与系统误差无关。




3 相关系数公式的适用对象
       相关系数公式为

                   r = [1/(N-1)][∑(Xi-X平)(Yi-Y平)] / (σXσY)                              (11)

       作如下变换

                 Xi = ZX+βX+ξXi

                 X平= (1/N)∑(ZX+βX+ξXi)

                     = (1/N) (NZX+NβX+∑ξXi)

                     = ZX+βX+(1/N)∑ξXi

       有

                  Xi – X平= (ZX+βX+ξXi) – [ZX+βX+(1/N)∑ξXi]

                          = ξXi – ξX平                                                                   (12)



       又

                 Yi = ZY+βY+ξYi

                 Y平= (1/N)∑(ZY+βY+ξYi)

                     = (1/N) (NZY+NβY+∑ξYi)

                     = ZY+βY+(1/N)∑ξYi

       有

                  Yi – Y平= (ZY+βY+ξYi) – [ZY+βY+(1/N)∑ξYi]

                          = ξYi – ξY平                                                                 (13)

       将(12)式(13)式代入(11)式,得:

                   r = [1/(N-1)][∑(ξXi – ξX平)(ξYi – ξY平)] / (σXσY)                (14)

       公式(14)与公式(12)等效。

       由公式(14)可知,皮尔逊相关系数系数公式,仅仅适用于随机误差ξ,而与系统误差β无关。皮尔逊公式对系统误差的灵敏度为零,因而皮尔逊公式不能用于系统误差。

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